高中数学笔记-3-集合

第三课 集合

[返回目录][洛谷专栏链接]

---

1. 集合的概念

1. 概念

   指定的某些对象的全体（研究对象是元素）

2. 特性

   确定性，互异性，无序性

3. 元素与集合的关系

   属于（$\in$）

   不属于（$\notin$）

4. 集合的分类

   有限集，无限集，空集（）

5. 常见数集

   $\R$ 实数集

   $\mathbb Q$ 有理数集

   $\Z$ 整数集

   $\N$ 自然数集

   $\Complex$ 复数集

   $\N^*=\N_+$ 正整数集

   $\R^+$ 正实数集

6. 集合的表示方法

   • 列举法

     $A=\{1,2,3\}$

   • 描述法

     $A=\{x|y=x^2-x+1\}=\R$

     $B=\{y|y=x^2-x+1\}=[\dfrac{3}{4},+\infty)$

     $C=\{(x,y)|y=x^2-x+1\}=$ 点集

2. 集合间的关系

1. 子集

   若对于 $\forall x\in A$，都有 $x\in B$ ，则称集合 $A$ 是集合 $B$ 的子集，记为 $A\subseteq B$

2. 真子集

   若 $A \subseteq B$，但 $\exists\ x\in B$，且 $x\notin A$，则称集合 $A$ 是集合 $B$ 的真子集，记为 $A\subsetneqq B$

3. 空集

   不含任意元素的集合是空集，记为 $\varnothing$

   空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集

   $\varnothing\in\{\varnothing\}$ ：$\varnothing$ 为元素

   $\varnothing\subseteq\{\varnothing\}$：$\varnothing$ 为集合

   $\varnothing\subsetneqq\{\varnothing\}$：$\varnothing$ 为集合，空集是任何非空集合的真子集

4. 子集个数问题

   若一个集合有 $n$ 个元素，则子集有 $2^n$ 个，真子集有 $2^n-1$ 个，非空子集有 $2^n-1$ 个，非空真子集有 $2^n-2$ 个

例题：以下正确的个数是？

$\varnothing=0$，$\varnothing={0}$，$\varnothing=\{\varnothing\}$，$0\in\varnothing$，$\varnothing\in\{\varnothing\}$，$\varnothing\subseteq\{0\}$，$\varnothing\subsetneqq\{\varnothing\}$

---

只有后三个是对的

3. 集合的运算

1. 交集

   $A\cap B=\{x|x\in A,\text{and}\ x\in B\}$

2. 并集

   $A\cup B=\{a|x\in A,\text{or}\ x\notin A\}$

3. 补集

   $\complement_\R A=\{x|x\in\R,\text{and}\ x\notin A\}$

   性质（摩根公式）：

   $\complement_\R(A\cap B)=(\complement_\R A)\cup(\complement_\R B)$

   $\complement_\R(A\cup B)=(\complement_\R A)\cap(\complement_\R B)$

   （可以画 Venn 图分析）

4. 充分条件与必要条件

1. 定义

   “若 $p$，则 $q$”为真命题，记 $p\Rightarrow q$，则称 $p$ 是 $q$ 的充分条件，$q$ 是 $p$ 的必要条件

   “若 $p$，则 $q$”为假命题，记 $p\nRightarrow q$，则称 $p$ 不是 $q$ 的充分条件，$q$ 不是 $p$ 的必要条件

   “若 $p$，则 $q$”与它的逆命题“若 $Q$，则 $p$”均为真命题，记 $p\Leftrightarrow q$，则称 $p$ 是 $q$ 的充分必要条件，$q$ 是 $p$ 的充分必要条件（简称充要条件）

5. 全称量词与存在量词

1. 定义

   全称量词（$\forall$）：对每个元素都成立

   存在量词（$\exists$）：对至少等于一个元素成立

2. 否定

   全称量词命题的否定：$\forall x\in M,p(x)$ 的否定是 $\exists x\in M,\lnot p(x)$

   存在量词命题的否定：$\exists x\in M,p(x)$ 的否定是 $\forall x\in M,\lnot p(x)$